Jurassic Park és a káosz elmélet
1993 XI.11
A káosz elmélet
1998 II.27

Biztosan mindenki, akarva nem akarva, de látta vagy legalábbis hallott,a Spilberg rendezésében készült, Jurassic Park című filmről. Ez a film nagy port kevert (csak tudnám, hogy miért?), talán azért mert elkészítése annyi $-ba került mint ahány éve kipusztultak a dinoszauruszok. Jó, rendben van elfogadom azt, hogy a trükkök szenzációsak, a filmen látható dinok mintha valóban élnének, de …
Aki viszont olvasta Michael Crichton könyvét, az tudja milyen remek, lenyűgöző alkotás, teli döbbenetes ötletekkel, fantáziával, tudománnyal, és ami a leglényegesebb, komoly mondanivalója van. Ezek pedig, természetesen, hiányzanak a filmből, ami megmaradt az valami horror : a dinok kajálják a visítozó embereket. Mintha az egész film, eleitől a végéig egy folytonos női sikolyból állna.
Amíg nem láttam a filmet érthetőnek tűnt a sikere a könyv alapján ítélve, de aztán… A könyvnek a címe félrevezető, ugyanis a főszereplő benne nem a biológia, vagy a genetika, hanem a káosz fizika. Még a fejezeteket is egy fraktál fejlődési ábrájával jelöli a szerző.
Azok számára akik esetleg nem olvasták a könyvet, vagy még a filmet sem látták, elmondom röviden miről szól.
Az alaptörténet az, hogy egy szigeten létrehoznak egy különleges állatkertet, ahol az elektromossággal feltöltött kerítések mögött, dinoszauruszokat tartanak! Honnan vannak ezek? Hát biztos tudnak arról, hogy néha megkövesedett borostyánban zárva, rovarokat is találtak. Ezek között vannak olyanok is mint a szúnyogok, vagyis vérszívók. Minek a vérét szívhatták ezek, úgy 60 millió évvel ezelőtt?  Természetesen a dinoszauruszokét. Az így szerzett vérből pedig, kivonták a DNS-t, kombinálták a hiányos részek pótlására ma elő hűlők DNS-ével, majd műanyag tojásokba rakták és kikeltették. Gondolom sokan tudjátok, hogy a vörös vérsejteknek nincs magja (tehát DNS sincs benne). Ez valóban így van az emlősök eseten, viszont a dinoszauruszokra és a madarakra, amihez a legjobban hasonlítnak, ez nem érvényes !
A tervben résztvevők, úgy gondolták meg csináltak minden óvintézkedést : csak nőstényeket gyártottak, a DNS-ből pedig kiiktattak egy gént amely egy fontos fehérjét gyárt, és ezt a táplálékban biztosították. Nem gondoltak arra (honnan is sejthették volna, hiszen az őslényekből csak csontokat ismerünk), hogy pont mint a rovarok, a dinólányok így is tojnak, a tojásokból pedig mind hímek jönnek ki, egész DNS-el! Az eredmény azt lett, hogy szaporodni kezdtek !
Az épületek földszintjét erős rácsokkal védték, a behemót dinok pedig beszökdicseltek az első emeleti ablakokon. Ki gondolta volna, hogy egyes dinoszaurusz faj mérget köp, vagy azt, hogy velociraptor néven ismert törpe dinoszauruszok (kb. 2 m. magasak), melyekről azt gondolták tojás lopok, tulajdonképpen a legveszedelmesebb és legvérengzőbb ragadozok, melyek csordában vadásznák, és káprázatosan gyorsak.
A könyvben valaki sejti, hogy a dolgok nem állhatnak jól, ez pedig a káosz elméleti szakember. Ő megjósolta , számítások alapján, hogy a dolog nem működhet mert egy kaotikus rendszerrel van dolgunk. A könyv szerzője, Michael Crichton, természetesen nem bonyolódik bele elmagyarázni részletesen a káosz elméletet. Sajnos, én igen.
A klasszikus mechanika filozófiája rendkívül egyszerű : ha pontosan adott egy megszabott pillanatban egy mechanikai rendszer állapota, abból tökéletes pontossággal ki lehet számítani egy későbbi időállapotban a rendszer állapotát. Persze egyes rendszerek lehetnek olyan bonyolultak, hogy elvégezni a számításokat őrület lenne. Ezért, például az atomfizikában, ahol működik a meghatározhatatlansági elv, statisztikus fizikát használnak, mely globálisan, determinisztikusan viselkedik. Az elképzelés tehát az volt, hogy egy egyszerű rendszer egyszerűen viselkedik, míg egy komplex rendszer bonyolultan viselkedik, de mindegyiket ki lehet számolni ha van elég türelmünk. Hogy mennyire egyszerű egy rendszer, azt jól jellemzi szabadság fokainak száma. Ezeket úgy határozhatjuk meg, mint azoknak a változóknak a számát melyek elégségesek, hogy egy rendszer állapotát leírjuk.
A megértés kedvéért vegyünk példának egy síkingát, mely egy egyszerű mechanikai rendszer, mely két szabadsági fokkal rendelkezik : a kitérés szöge és a pillanatnyi sebessége.
Az, hogy komplex rendszer – komplex viselkedés, mindig is érthető volt, de az egyszerű rendszer – bonyolult viselkedés, merőben új fogalom a tudományban.
Erre először Edward Lorenz jött rá, 1963-ban. Ő persze, valami komplex hidrodinamikai problémát modellezett, de én a következtetéseit elmagyarázom a síkingánál. Az ábránkon, az inga mellett az állapottér látható, melyet két kontrol paraméter határoz meg, vagyis egy sík melynek az egyik koordinátája a sebesség, a másik pedig a kitérés. Az időbeli változásoknak megfelelően a rendszer állapotát jelző pont, az állapottérben vándorol, pályáját trajektoriának nevezik. Ez, a még fázistérnek is nevezett állapottér, annyi dimenziós ahány szabadsági foka van a rendszernek. Ebben a fázistérben, a rendszer állapotát egy adott pillanatban egy pont jelképezi. A rendszer változásával ez a pont vándorol, mint ahogy egy légy  repdes egy szobában. Az ingánknál, az első esetben, mikor nincs mondjuk súrlódás, a pont trajektoriája egy kör, míg súrlódással egy spirál. Ha viszont az ingára egy periodikus erő hat, az eredő frekvenciájának megfelelően, az inga kaotikusan kezd mozogni !

A mechanikai rendszerek rendelkeznek un. atraktorokkal, melyek fixpont (első esetünk), vagy határciklus (második eset). A kaotikus állapotban viszont, a kaotikus atraktorok dominálnak. Az atraktorok azoknak a pontoknak a halmaza az állapottérben amely fele az állapot trajektoriája hosszú távon tart.
A könyvben szereplő tudós, elképzelésem szerint, kezdetben eldöntötte, hogy idealizált módszerekkel dolgozik, így azt feltételezte, hogy a park kontrollparamétere a dinok elhalálozásának aránya lesz. Egyes rendszerek bizonyos körülmények között egyszerűen, megjósolhatóan viselkednek, máskor pedig kaotikusan. Különböző körülményeket a fizika az úgynevezett kontrollparaméterekkel jellemzi. A kontrollparaméter olyan mennyiség , amely közvetve meghatározza a rendszer viselkedését, anélkül, hogy ő maga időben változna. A kontrollparaméter különböző értékeinél a rendszer különböző módon viselkedhet : egyes értékeinél előreláthatóan, másoknál kaotikusan.
Mit mutat a modellezés?
Ha az elhalálozási szám egyenlő a nullával, akkor bármely előző évi egyedlétszámból (ez van jelölve egy fekete dinoval) meg tudjuk határozni a rákövetkező évbeli – piros dinoval jelzett – létszámot. Ezt a törvényt egy grafikus összefüggéssel  - fordított parabolával - tesszük szemléletessé

Ha a kontrollparaméter értéke kicsi akkor a dinok száma egy idő után meg fog állapodni egy bizonyos értéknél, és évről évre változatlan marad. Ez az érték nem függ a dinok előző évi számától, hanem csak az elhalálozás mértékétől. Mint láthatjuk, ez a megállapodás nem függ a dinoszauruszok kezdeti létszámának nagyságától (kék vonal) !!

Ha növeljük a kontrollparamétert, egy bizonyos értéknél nagy változás történik : periodikussá válik. Azt vesszük észre, hogy az egyik évben mondjuk 200 dinoszaurusz van, a másikban 150, a harmadikban megint 200 és így tovább, a dinoszauruszok száma két érték között oszcillál.
Ha tovább növeljük a kontrollparaméter értékét egy újabb kritikus érték fölött a dinok száma már nem két, hanem négy érték között fog oszcillálni. Ez a periodikus kettőzés a biztos jele a káoszba való átmenetnek !
Tovább növelve a kontrollparamétert a rendszer valóban kaotikusan kezd viselkedni (lásd az ábrát !).

A fentieket Mitchell Feigenbaum fedezte fel.Õ egyszerű függvényeket választott, bemenetként vett egy számot és kimenetként kapott egy másikat. Állati populáciokra vonatkoztatva ez a függvény az évi és a következő évi népesség közötti kapcsolatot fejezheti ki. Az ökológus szemében a népességnövekedésre a lineáris függvény tetszik legkézenfekvőbbnek – ez állandó, korlátlan növekedés forgatókönyvének felel meg, azaz minden évben ugyanolyan arányú a növekedés. Már közelebb áll a valósághoz egy olyan függvény, amelynek egy visszahajló ív a grafikonja: ez visszaszorítja a populációt, ha az túl népessé válna (mint a mi ábráink esetében is). Feigenbaum azonban rájött, hogy mindegy milyen fajta ívet használunk, az egyenletbeli részletek nem számitanak, csak az a fontos, hogy a függvény ”púpos” legyen. A tapasztalt viselkedés azonban érzékenyen függött a meredekségtől – azaz a nemlinearitás fokától. Ha túl lapos a függvény, akkor kihal a populáció: bármekkora is az induló populációméret, az végül a nullán állapodik meg. A meredekség növekedésével áll elõ az, amit a hagyományos felfogású ökológus vár – az állandósult egyensúly. Az ennek megfelelõ pont amely az összes pályát behúzza, egy egydimenziós “atraktor”. Egy bizonyos értéken túl, amint láttuk, a bifurkáció révén kettõs periódusú oszcilláló populácók alakulnak ki. Még további, nagyobbodó értékeken áthaladva több perióduskettõzõdés megy végbe, és végül a pálya egyáltalán nem kerül nyugalomban, a rendszer kaotikus lesz.
Feigenbaum megfigyelte, hogy a káoszhoz vezetõ úton egymást követték a perióduskettõzõdések: a kettõs ciklusok négyesekké hasadtak fel, a négyesek nyolcasokká, és így tovább. Aztán egyszerre rájött, hogy a periódusketözõdések nem egyszerűen egyre gyorsabban jöttek, hanem állandó arányban váltak egyre szaporabbá. Kiszámitotta a konvergencia arányát, és 4,669-t kapott.
A késöbbi számitások meglepõ eredményhez vezettek: hömpölygõ folyamok, a gyapott tözsdei ára, lengõ ingák, az autók feltorlódása az autópályán, stb. mindenhol ahol perióduskettözödéssel találkozunk megjelenik a 4,6992016090 arány !
A érthetoség kedvéért képzeljük el, hogy egy a dinok korában élõ ösember zoológusnak az az ötlete támad, hogy bizonyos dolgok nehezebbek másoknál – van valamiféle elvont minöségük, amit õ“súlynak” nevez -, és tudományosan szeretné vizsgálni ezt a teóriát. Ténylegesen sosem mért súlyt, de úgy gondolja, van valami fogalma róla. Megjelennek elõtte a nagy dinok meg a kis dinok, a nagy halak és a kis halak, és úgy véli, hogy ezeknek az állatoknak a súlya valahogy kapcsolatban állhat a méretükkel. Felépit egy skálát és elkezdi mérni a dinokat. Meglepetésére minden dino ugyanannyit nyom. Majd megdöbbenve tapasztalja, hogy a halak is mind egyforma súlyúak. Az pedig végleg elképeszti, hogy a dinok ugyanannyit nyomnak, mint a halak: mind 4,6992016090 súlyúak !
Feigenbaum felfedezésének univerzalitása és a mai napig is megnemértése kiábránditó: a természet félrerántotta a függönyt és váratlan rendet villantott fel a káoszban, mi pedig csak ostobán bámulunk. És ki tudja mi van még ott a függöny mögott?

De mi is az, hogy káosz?
Ha veszünk egy ágyút és kilövünk belőle egy golyót, akkor az becsapódik valahová. Egy hasonló golyó, melyet ugyanabból az ágyúból lövünk ki, nagyjából a másik becsapódás mellé kerül. Más szavakkal mondva, a kezdeti feltételek kis változása, időben kis eltérést eredményez. Ez a determinizmus. A kaotikus állapotban viszont a kezdeti feltételek legkisebb váltózása exponenciálisan nő az időben, így az eredmény kiszámíthatatlan.
Az időjárást is nem azért nem tudjuk előrelátni mert nem ismerünk eleget (vagyis nem tudunk minden kontrollparamétert), hanem azért mert kaotikusan működik. A kezdeti értékek legapróbb eltérése is, időben nagyon nagy váltózásokat idéznek elő! Ez a „pillangó-effektus”. Ha Pekingben egy pillangó szárnya verdes, akkor New Yorkban vihar lesz!
A kezdeti paraméterek abszolút értékét pedig nem fogjuk soha megismerni, így a hibák mindig exponenciálisan növekednek, a kaotikus állapotban. A kaotikus tartományt viszont kaotikus atraktork jellemzik. Ez azt jelenti, hogy például tovább növelve a kontrollparamétert ( a dinok elhalálozásának arányát), akkor a teljesen kaotikusan változó dinoszaurusz létszám egyszerre periodikussá válhat ! Tudjuk, hogy a rendszer valahol egy kaotikus atraktor felületén mozog, de a pontos helyét hosszú távon nem tudjuk meghatározni.
A jobb megértés céljából térjünk vissza a síkingához. A klasszikus fizika tökéletesen leírja a mozgását, pont úgy ahogy egy spirál rúgóét is. Ha viszont a kettőt összekombináljuk (az inga száljához beiktatjuk a rúgót), akkor a rendszer egyből túl komplex lesz és kaotikusan mozog.
Hozzuk mozgásba az ingát úgy, hogy egy kicsit meg is húzzuk Azt látjuk, hogy ide-oda szökell, le és fel, teljesen rendszertelenül. Viszont a súrlódás következtében változnak a kontrollparaméterek értékei, és egy adott pillanatban az inga szabályosan kezd mozogni, két érték között (lásd az ábrát). Ez így megy egy ideig, majd a kontrollparaméterek változása miatt ismét szabálytalanná válik a mozgás.
Hangsúlyozni kell, hogy annak ellenére, hogy az eddig bemutatott rendszerek a fizika területéhez tartoznak, azok a rendszerek melyek kaotikusan viselkednek lehetnek biológiai, társadalmi, kémiai, stb.
Amikor a rúgósinga szabályosan mozgott, akkor egy kaotikus atraktor hatása alatt állt. Az atraktoroknak, jó tudni, egyik legfurább tulajdonsága, hogy dimenziójuk nem egész szám, vagyis fraktál struktúrával rendelkeznek.

Hoppá, ezt nem kellett volna megemlítsem ! De ha már megtörtént, akkor elmagyarázom.
Az IBM konszern kutatócsoportjának egyik tagja, egy bizonyos Benoit Mandelbrot, érdekes kritérium szerint osztotta fel két részre a komplex számsíkot.(pl. amelyik leírja egy henger felületét ; a + ib formájú, ahol i² = -1 ). A sík egy-egy pontját „tortúrának” vettet alá, és a szegény pont vagy túlélte, vagy nem. A túlélők alkotják a Mandelbrot-halmazt, a „tortúra” pedig nem egyébb, mint egy egyszerű iteráció : a soron következő áldozaton bizonyos matematikai műveletet végeznek el, az így kapott számon úgyszintén, és ezt többször megismételve egy számsorozatot kapunk. Ha ez a sorozat a végtelen felé tart, az áldozat kimult. Ha a számítógép egy fekete pontot tesz oda ahol túlélő van, és fehéren hagyja a többit, akkor lassacskán megjelenik egy bütykös, pattanásokkal teleszórt szörny. Ha pedig színessé akarjuk tenni az ábrát akkor nem csak a „túlélőket”, hanem a „néhaiakat” is ábrázoljuk mégpedig úgy, hogy más-más színárnyalatot rendelünk hozzájuk, attól függően, hogy mennyi idő alatt érték el a tűréshatárt

Ez egy fraktál ami azzal a képességgel bír, hogy akármelyik kisebb része kinagyítva a megszólalásig hasonlít az anyahalmazra. Ez az önhasonlóságnak nevezet tulajdonság.
Ha egy vonalat három részre osztunk, és a középső részt az ábrán látható módon „felváltjuk” a belőle megszerkeszthető egyenlő oldalú háromszög „másik két” oldalával, egy négy szakaszból álló törtvonalat kapunk. Ha a négy szakasz mindegyikével elvégezzük ugyanezt a műveletet, majd az így létrehozott tizenhat oldallal is ezt tesszük, máris megtudjuk, hogy milyen a Koch-görbe (1905).

A természetben található legtöbb forma fraktálstrukturájú! Sőt, már azzal is előálltak, hogy a genetikai kód nem tartalmazza a szervezetnek teljes leírására szükséges üzenetet, hanem csupán csak a fraktál előállításhoz szükséges műveleteket. Ezeket végrehajtva, kapunk egy nővényt, egy bogarat vagy egy elefántot.

Tudjuk, hogy a vonalat a hosszúsága képviseli, ami legyen L. Ha egy síkról beszélünk, ami kétdimenziós felület akkor L² írunk, egy kockának pedig térfogat van, ami L³, vagyis : L^D, ahol D = 1, 2, 3, 4… (D – dimenzió)
Mi történik, például a vonalunkkal amikor fraktálizáljuk? Egy alaphossz kicserélődik egy bizonyos számú azonos tárgyal, de mind kisebb skálában.
Fejezzük ki a D-t az alaphossz és az azonos tárgyak számának függvényében:
N(L) = L^D Ţ D = ln N(L) / ln L , ln – természetes logaritmus.
Itt N(L) azt mutatja, hogy hány tárgy helyettesíti ki az előzőt, míg L azt ábrázolja, hogy hány részre osszuk. A Koch féle fraktálstrukturára érvényes adatokkal behelyettesítve
D = ln 4 / ln 3 ≈ 1,26 !
Vagyis tört dimenziószámot kapunk !
Talán még jó megjegyezni, hogy a rendszer szabadság fokainak száma egyenlő az atraktorjának fraktáldimeziójához legközelebb eső egész számmal .
Zárószóként egy kis idézet a regényből (Michael Crichton – Őslénypark, Maecenas Könyvkiadó, Budapest,1992,458 oldal :
„A tudomány korának végnapjait éljük Mint minden más elavult rendszer, a tudomány is önmagát rombolja. Ahogy a hatalma nő, úgy válik egyre képtelenebbé rá, hogy bánni is tudjon a hatalommal. Mert most már igazán felgyorsultak a dolgok. Ötven évvel ezelőtt mindenkinek az atombomba volt a mániája. Mert az hatalom volt a javából. Annál nagyobbat el sem tudott képzelni senki. Ám tíz év sem telt bele, és a bombát követte a genetikai hatalom kezdete. A genetikai hatalom pedig sokkal nagyobb, többre képes, mint az atom hatalom. És ott lesz mindenki kezében. Benne lesz a hétvégi kertész szerszám készletében. A gyerekek iskolai kísérleteiben. A terroristák és diktátorok olcsó laboratóriumaiban. Ez pedig mindenkit rá fog kényszeríteni arra, hogy feltegye a kérdést : << Mit kezdjen a hatalommal?>> - pontosan azt a kérdést, amelyről a tudomány azt mondja, nem tud felelni rá.”