TESZERAKT SCI-FI KLUB

 

Sci-fi és matematika
1998 XI.27

„Ha adott egy aleatorikus fibrált tér két tetszőleges négydimenziós környezete, úgy hogy a geodetikus körön homeomorf színes Boole-elgebra hiperbolikus, akkor adhatók a négydimenziós környezetben olyan fonalak, melyek környezetfonalat alkothatnak a fekete szín vektora mentén”.
Ezt olvashatjuk Mandics György és M. Veress Zsuzsanna Vasvilágok című regényében, a 190-ik oldalon. Érhetetlennek tűnik mondanivalója, de nem az, csupán arról van szó, hogy Mandics, aki matematikus egy kicsit színesebben mondja el a Bolyai nem euklideszi térmértan alapját.
Euklidesz meghatározott 5 posztulátumot melyből kiindulva felépítette a világunk mértanát, több kötetbe összegyűjtve az ezekből következő teorémákat. Az első négy meghatározás, ami megszabja mi a vonal, mi a sík, vagy az derékszögek egyenlőségét, teljesen nyilvánvalóak, ám az ötödik, ahol kimondja, hogy egy vonalhoz egy külső ponton keresztül csak egyetlen egy párhuzamost lehet húzni, egyáltalán nem az. Inkább ez is egy teorémára hasonlít. Matematikusok generációi próbálkoztak azzal, hogy az előző négy posztulátumból bebizonyítsák az ötödiket, de senkinek sem sikerült. Azok között akik ezzel emésztették magukat megtaláljuk a Marosvásárhelyi Bolyai Farkast is. A fia lesz aztán aki elhozza az áttörést. Bolyai János, nem próbálja bebizonyítani az ötödik állítást, hanem azt feltételezi, hogy egy ponton keresztül egy vonalhoz végtelen sok párhuzamost lehet húzni !!
Ezzel a semmiből egy új világot teremtett !
Most az euklideszi térmértantól eltérő posztulátumaink vannak, és az ebből következő szabályok és teorémák egy új, addig ismeretlen világra nyitottak ablakot : a görbült térre.


A Bolyai tételének van egy algebrai formája is, mely a következő :
 
Az utóbbi időben folytatott kutatások a marosvásárhelyi Teleki könyvtárban, ahol a Bolyaiak jegyzeteit tárolják, kiderítették, hogy Bolyai azon a véleményen volt mely szerint a képletben szereplő k faktort a gravitáció határozza meg. Igaza volt, sejtése nem más mint a relativitás elmélet előrelátása, ugyanis a tömegek közelében a tér meghajlik elveszíti euklideszi mivoltát, és Bolyai térré alakul.
Tudom, hogy a többségnek a matek első számú közellenség, számomra sem volt ez másként, így hát bízhattok bennem amikor azt állítom, hogy amiről ma itt szó lesz, érdekes és érthető lesz.
A legrégebbi időktől ismertek a számoknak leírási fórmájai és természetesen a vele járó matematika

A mezopotámiaiaknál a függőleges ékek megszámlálása közvetlenül az 1, 2, 3 stb. kiolvasásához vezetett, egész a 9-ig.
Ekkor következik egy < melynek 10-et kell jeleznie. Hasonlóan olvashatjuk ki ezután következő jelekből a 11, 12, 13 számokat. A  <, <<, <<<, nyilvánvalóan 10, 20, 30-nak kell olvasnunk. Ezek után következnek a

amelyeket értelemszerűen 1, 1.10, 1.20 … 2, 2.10-nek írunk át. Ezek a jelek úgy értelmezhetők, ha az első „1”-et 60-nak olvassuk és 1.10-et 60+10=70-nek, az 1.20-at pedig 60+20=80-nak vesszük. A következő „2” jel értéke ily módon 120, míg az utolsó 2.10 jel eszerint 120+10=130.
Az egyiptomiak 1-től 9-ig egy függőleges vonallal ábrázolták számaikat : 1 úgy íródót mint I, a 2 mint II││, és így tovább. A tízes számot egy forditott U jel adta, a százast  (kötél), az ezrest pedig  (lótusz virág).
A hatezret tehát hat lótusz virággal ábrázolták.
A 10.000-et egy ujjhoz hasonló jel adta, a 100.000 egy békaporonty, míg az 1.000.000-ot egy felemelt karú istenség ábrázolta. A gyakoribb törteknek is meg volt a maga jele, ami főleg a Horusz isten mindent látó szemének az összetevői adtak.

Az egyiptomi írnok eljárása szerint a 12-vel való szorzás két lépésben történt. A szorzandót először tízzel szorozta (egyszerűen minden jelet egy nagyságrenddel nagyobbal helyettesítve), ezután megduplázta, végül pedig a két eredményt összeadta. Így például, ha 12-t 12 vel szorozták, következő kép rendezték a számjegyeket:

1         .....12

/10  ... 120

/2 .......24

összesen 144.
A végeredményt a két vonással jelölt tag összeadása adja. Vagy tegyük fel, hogy a szorzó törtszám, mondjuk 1/5, ún. „elemi tört”, amelyet mi, hogy az egyiptomi írásmódot érzékeltessük,  az   alakban írunk.
  Ezt szorzást (12 x 1/5) az egyiptomi írnok két lépésben végezte volna el : előbb 10-zel, majd 2-vel szorozva. Az első eredmény 2. A második viszont már egy elemi tört kétszeresét kívánta, amit táblázatból kerestek ki. A táblázatban 5 dupláját  3 alakban tüntették föl, mert 2/5 = 1/3 + 1/15. A számítás tehát ilyen volt :


Ezzel szemben az írnok óbabiloni kortársa ugyanezt a feladatot a 12-es szorzótábla segítségével oldotta volna meg. A közönséges összeadást és kivonást nem szükséges bővebben tárgyaljuk. Egyszerűen az egyiptomi számjelek elemeinek. Az egységeknek, tízeseknek, százasoknak stb. megfelelő rendezéséből és megszámlálásából áll. Végül is a szorzás és az osztás is ugyanerre az eljárásra vezethető vissza : minden többszöröst úgy fognak fel, mint sorozatos duplázások egyes eredményeinek összegét. A duplázás nem más, mint valamely számnak önmagához való hozzáadása. A 16-tal való szorzást pl. négy egymás utáni duplázással végzik el, ahol a végeredmény az utolsó részeredménnyel egyenlő. A 18-cal való szorzáshoz a 2-hőz és a 16-hoz tartozó részeredményeket kellett összeadni, mint a következő példában, a 18 x25-töt látjuk.

1....... 25

/ 2.......50

4....... 100

8.......200

/16.......400

összesen  450.
Általában a szorzás nem más, mint az egyik tényező felbontása egy duplázódási sorozat megfelelő tagjaira. Az osztás szintén erre az eljárásra vezethető vissza, csakhogy ebben az esetben azt a tényezőt kell keresnünk valamely adott számhoz, amellyel azt megszorozva egy másik adott számot kapunk. Ha 18-at kell 3-al osztanunk, addig duplázzuk a 3-at, míg a részeredményekből 18 össze nem állítható :

1........3

/2........6

/4.......12

összesen 18.
a
z osztás eredménye pedig 2+4 = 6. Az eljárás nem mindig ilyen egyszerűn néha törteket is kell vezetnünk. Ha például 16-ot 3-mal akarunk osztani, megint elkezdhetjük :

/ 1......3

2.......6

/  4.....12

összesen 15.
és 1+4 = 5, ami kisebb a kívánt értéknél. Ami még hiányzik, az nyilván 16-15 = 1, ezt az egyiptomi számoló a végén így fejezi ki :
azaz 3-nak a 2/3-része 2, 1/3 része 1, és feladatunk eredményeként 5 3-ot kapunk.
A romaiak az egész számok leírásához, a következő hét alapjelt használták :

I  V  .....C ..D...  M

1  5  10  50  100 500 1.000

Ezek segítségével leírhatunk bármilyen egész számot mely nem haladj meg a 4.000, egyes számok megismétlődhetnek, de nem több mint háromszor. A romai számok írásánál a kisebb szám lehet a nagyobb szám jobbján írva és ebben az esetben hozzáadódik, pl. a 283-nál :
CCLXXIII, vagyis 200+50+30+3 = 283.
A kisebb szám lehet a nagyobb szám baljára is írva, ebben az esetben pedig kivonódik. Íme néhány példa a romai számok írásáról :

CCIV = 100-15+5-1 = 94

CMXLIV = 1000-100+50-10+5 = 944

MDCCCIX = 1000+500+300+10-1 = 1.809

MCMLIX = 1000+1000-100+50+10-1 = 1.959

Mint látható ebben a rendszerben nincs külön jel a nulla leírásához, mégis nagyon jól boldogultunk nélküle, amikor a 1.809 írtuk. Hogyan lehet a matematikai műveleteket elvégezni ezekkel a számokkal? Nehezen és bonyolultan, ezért nem is fárasztlak vele.
A kínai számírás tízes rendszerű és hieroglifikus volt. Három változatát ismerjük : a régi, a kereskedelmi és a modern számírást.
A régi és a modern számírás jegyei alig különböznek egymástól, elvük viszont teljesen más, a modern számírás mar helyértékes. A 10 az előbbi szerint  ,az utóbbi szerint pedig ,vagy –O.
A számjegyek leírásában régebb az uralkodó elv az összeadás és a szorzás volt, ezeknek köszönhető, hogy a használt 13 jellel bármilyen nagy számot is le tudtak írni. Például a 789-et így írták le :

 7 x 100 + 8 x 10 + 9 = 789.

A kereskedelmi számírás jelei a régi kínai jelekből alakultak ki, azoknak némileg egyszerűsített változatai. Ebben az írásmódban már a nullát is felhasználták, de csak a több jegyű számok belsejében, jele egy kis kör. A szám végi nullát megjelölték. Az 1-tőé 9-ig terjedő számjelek helyértéke  az alájuk írt 10, 100, 1,000, 10.000 jelével adták meg. Így pl. az 1.256, illetve 10.607 így festett :
Ez megfelel annak, mintha mi ezeket a számokat így írnánk le :

   .1.........5   ..........1  ......6  

   1.000.  100.. 10 ..6....  10.000 o  100 o   7

A kínaiak okosak voltak, így nem vesződtek a bonyolult jelekkel való számolással ehhez egy számolótáblát használtak. Ezen a számokat 10 centiméteres hosszú pálcikákkal ábrázoltak, és ráadásul kétféle kép, hogy két számot ne keverjenek össze :

Nézzük meg röviden hogyan adtak össze és hogyan osztottak ezen a táblán. Tegyük fel, hogy össze kell adjuk 9.876-ot 5.647-étel.
Legelőször leírjuk a táblán a két számot :

Az összeadást a nagyobb értékű számokkal kezdték, vagyis balról jobbra. Összeadjuk tehát az ezreket : 9 + 5 = 14. Ezt le is írjuk a táblánkon a következő képen :

vagyis az összeadódó számok fölé képezünk egy másik sort, a baloldali számnál az ezresek helyébe leírjuk az összeadás értékét, a 14-et. Most összeadjuk a százakat : 8 + 6 = 14, mivel egységnél nagyobb értéket kaptunk ezt összeadjuk az ezresek értékével :
  14 +
.
  14
----------
  154
így a harmadik sorban a táblánkra következőt fogjuk írni :

Vagyis bal oldalra leírjuk a 154-et, majd aztán megismételjük a megmaradt többit. Ezek után az tízesek összeadása következik : 7 + 4 = 11. Ismét egységnél nagyobb értéket kaptunk, tehát össze kell adjuk az előző eredménnyel :
154 +
..11
------
1551
Ezt leírva táblánkra a következőt kapjuk :

Most már csak az maradt, hogy összeadjuk az egységeket : 6 + 7 = 13, nagyobb egy egységnél ezért a már ismert módon összekombináljuk az előző összeadás eredményével :
1551   
 ..13
--------
15523
és így megkaptuk az teljes összeadás végösszegét :

 


 A szorzás is hasonló módon történt, a két számnak a nagyobb értékeit kezdték hamarább megszorozni egymással, így haladva lefele az egységekig. Tegyük fel, hogy meg kell szorozni egymással 346-ot és 27-et. A számoló táblára érvényes jegyzési módom szerint ez a folyamat a következő kép zajlik le:
....346  x
 .. 27
-------------------
....6
....21
 ... 8
.... 28
  ...12
    ...42
-------------
 ...9342
Vagyis megszoroztuk először 3-at a 2-vel és 6-ot kaptunk, ami az ezreseket képviselte. Utána megszoroztuk 3-at a 7-tel és 4-et a 2-vel, az eredményeket 21 és 8, mely a százasok értékét adja leírtuk 6 alá figyelembe tartva értéküket. Ezután megszoroztuk 4-et a 7-tel és 6-ot a 2-vel (ezek adták a tízesek értékét, vagyis 28 és 12), végül megszoroztuk 6-ot a 7-tel és megkaptuk az egységek nagyságát : 42. Mindezeket leírva és a végén összeadva megkapjuk a szorzás
végleges eredményét : 9.342.

Az igazsághoz hozzá tartozik, hogy a romaiak sem voltak épp buták és ők is a számoláshoz egy készüléket használtak : az abacust. Ez egy vonalazott asztal volt amire kövecskékkel írták fel a számokat (lásd az ábrát).
Ennek az eszköznek a használata ma már szinte ismeretlen Európába, viszont nagyon elterjedt az oroszoknál. Az orosz könyvelőségi golyósszámláló bár nagyon egyszerű felépítésű, rendkívüli eredményeket nyújthat. Ha egy szakember kezeli még a modern zsebszámológépeket is túlhaladja ! Igaz nem lehet minden műveletet elvégezni vele, de az összeadás, kivonás, osztás és szorzás elég hatékonyan megoldható, ha ismerjük a kellő használati módszereket.

Hogyan történik az összeadás ?
Vegyük pl. 447,7 + 834,2 = ?. A szerkezetnek 12 golyósora van. A két legalsó sor a tizedeket képviseli. Az ez utániak, felfele haladva adják az egyeseket, tízeseket, százasokat, ezreseket, stb. Ezek szerint a 834,2-öt a bal oldalon látható módon kell ábrázoljuk a golyósszámlálónkon. Ehhez a 834,2-höz tehát hozza kell adjunk 447,7-et. Ez úgy történik, hogy összeadjuk a tízedeket a tízedekkel, az egységeket az egységekkel, a tízeseket a tízesekkel, stb. Alulról a második sorban levő bal oldali két golyóhoz, hozza kell adjunk még hetet és lesz kilenc. A következő sorban levő 4-hez hozza kell adjunk 7-et és lesz 11. Vagyis ebben a sorban bal felén meghagyunk egy golyót, míg a felső sorban automatikusan bal oldalra tolunk egy nagyobb rendű golyót. Most következnek a tízesek. A négy golyóhoz (3+1) hozzá kell adnunk 4-et és lesz 12, vagyis itt marad 7 golyó míg a felső sorban automatikusan balra kerül egy golyó. Az eredmény : 1281,9.
A kivonás is hasonlóan történik történik. Például ha 1281,9-ből ki akarunk vonni 834,2-öt, akkor elkezdjük a kivonást a tizedektől és úgy haladunk felfele. A mi esetünkbe kezdetben a 9 golyóból elveszünk 2-öt és marad 7. Aztán az következne, hogy az 1-ből elvegyünk négyet, de ez lehetetlen, ezért a felső sorból jobbra tolunk egy golyót (=10). Ha 10-ből elveszünk 4-et marad 6, ezért abba a sorba ahol 1 golyó van még hozzáadjuk azt a 6 golyót is mely a tízből való kivonástól megmaradt, így itt lesz 7 golyó. Tovább menve, a fentebb levő sorban megmaradt 7 golyóból elveszünk 3-at és marad 4.
Most megint az következne, hogy két golyóból elvegyünk 8-at, de mivel ez lehetetlen, a felső sorból egy golyót automatikusan jobbra tolunk(=10). Ebből a tízből ha elveszünk nyolcat marad kettő és ezt a két golyót még hozzáadjuk a másik 2 golyóhoz, így itt 4 golyó lesz.
Leolvassuk az eredményt : 447,7.
A szorzás és osztás egy kicsit nehezebb, de a szakik rövidítéseket használnak (a szorzás pl. nem egyéb mint többszörös összeadás).
A maják sem ismerték a szorzótáblát. Ők csak megfelezni vagy megduplázni tudtak egy számot, mégis nagyon jól boldogultak. Az érdekesség kedvéért nézzük meg hogyan szoroztak meg két számot, pl. 1961-et 13-al.
Leírták a két számot majd a kisebbet addig felezték míg 1 lett, a másik oszlopban pedig mind duplázták a számot :

13 x  1961
 6 —— 3922
 3... 7844 
 1   15688
------------
.... 25493

    1961 x
      13

------------
    1961
-    5883 
------------
    25493

Ha a felezés közben az eredmény nem volt egész szám, csak az egész értéket vették figyelembe, felekkel nem foglalkoztak. Megvan tehát a két oszlop és most jön a varázs : a bal oldali oszlopban szereplő páros számok „gonoszak” ezért ki kell húzni a másik oszlopban szereplő számmal együtt. A jobb oldali oszlopban megmaradt számokat ha most összeadjuk meg kapjuk a szorzás eredményét. Bármilyen hihetetlen, a dolog működik bármilyen két szám szorzásánál.


Az indiaiak a szorzást a mellékelt táblázat szerint végezték. Felülre írták a szorzandót : pl. 934-et,.jobb oldalra pedig a szorzót : 314. Először a 934-et 3-mal szorozzuk, és minden egyes számjegyet külön-külön megszorozva (3x9=27, 3x3=9, 3x4=12) a szorzatokat beírjuk a rekeszekbe olyan sorrendben, hogy a tízesek átlós vonal fölé, az egyesek pedig alá kerüljön.
Ugyanezt tesszük a 934-es szám 1-gyel és 4-gyel történő szorzásakor. Ha tízesek nincsenek, akkor nullát írunk, pl. ha a részletszorzat  9, akkor 09 írandó. Amikor a háromszögeket mind kitöltöttük már számjegyekkel, az átlók mentén összeadjuk a számokat, és az eredményt a rács alá vagy annak bal oldalára írjuk. Az összeadást a legalsó sor jobb szélső háromszögénél kezdjük. A kapott 293 276 szám lesz a 314 x 934 szorzata. A szorzásnak ezt a módját Olaszországban gelosiának nevezték, ami féltékenységet jelent (a féltékeny férjek ablakainak zsaluzásáról, melyre az ilyen szorzáshoz használt hálózat alakja hasonlított). A híres angol matematikus, a logaritmusok feltalálója, John Neper (1550-1617) erre a módszerre alapozta a számolópálcák ötletét.
Eddig elég gyakran használtuk az előadás folyamán a szorzótáblát. Ha esetleg valakinek gondja van vele, had segítsek. A daktilonómia egy olyan módszer melyhez elég ha ismerjük a szorzótáblát ötösig.
Ha meg akarjuk szorozni például a 7-et a 8al, akkor a bal kezünkön úgy képezzük ki a 7-est, hogy kinyújtjuk két ujjunkat (5+2=7), a jobbon pedig három kinyújtott ujjunk adja a 8-at (5+3=8).

Ahhoz, hogy megkapjuk a szorzás eredményét elég ha a behajlított ujjaink számát megszorozzuk, és ezek adják az egységeket (3x2=6), a kinyújtott ujjainkat pedig összeadjuk, ezek képviselik a tízeseket (2+3=5). Vagyis 7x8=56 ! !
A kilenccel való szorzás a legegyszerűbb. Kinyújtjuk mind a tíz ujjunkat, és behajlítjuk, balról számolva, azt az ujjunkat amelyik számmal szorozni akarjuk a kilencet. A behajlított ujjtól jobbra vannak a tízesek, balra pedig az egységek. Ha pl. meg akarjuk tudni menyi 8x9=?, akkor a két kéz kinyújtott ujjai közül  a jobb kéz középső ujját hajlítjuk be. Ettől balra van hét kinyújtott ujjunk, ez akkor 70-net jelent, jobbra pedig kettő, így 8x9=72 !
„A pszichohistória – a lélektan továbbfejlesztése, helyesebben annak teljes matematizálása. A pszichológia valódi fejlődése csak az után következett be, miután kialakultak az idegrendszer fiziológiájának és elektrokémiájának azok a matematikai vizsgálati módszerei, amelyeket vissza lehetett vezetni a nukleáris erőkre. És miután az egyes emberről nyert pszichológiai ismereteket általánosították a csoportra, a szociológiát is matematikai lapokra sikerült helyezni.
A nagyobb csoportok : a bolygókat benépesítő milliárdok, a szektorokat benépesítő billiók, a galaxist benépesítő trilliók többé nem egyszerű emberi lények, hanem statisztikailag megközelíthető gigászi erők voltak, minélfogva Hari Seldon számára a jövő áttekinthető lett és szükségszerű”- írja Isaac Asimov az Alapítvány ciklushoz tartozó Második Alapítvány című regényében. Valójában hajlamosak vagyunk matematizálni mindent elfeledve, hogy mi rejtőzik a számok mögött, a fenti példában emberi lények élete. Azok akik így gondolkoznak, hajlamosak arra, hogy a kővetkező logikát kövessék : ha egy nő 9 hónap alatt szül egy gyereket, akkor 9 nő egy hónap alatt fogja megszülni !
Van erre egy másik, számomra kedvesebb példám. Dirac, a híres fizikus, amikor még Cambdrigeben volt egyetemista, részt vett egy matematikai versenyen. A feladat következő volt: Három halász a vihar elől egy szigetre menekül, úgy döntve, hogy ott maradnak éjszakára. Éjfélkor, az egyikük felébred, látja hogy a vihar elállt, így úgy dönt, haza megy. A kifogott halakat, tisztességesen, elosztja három egyenlő részre. Az osztásnál egy plusz hala marad, azt pedig vissza dobja a tengerbe. Veszi a részét a halból és elmegy. Felkell a második halász, és ő is úgy gondolkodik mint az első, ám mivel nem tudja, hogy a másik halász már elment, ő is három egyenlő részre osztja a tálát halmennyiséget. Neki is megmarad az osztás után egy plusz hala, amit szintén vissza dob a tengerbe. Veszi az ő részét és elmegy. A harmadik halász is pont úgy végig csinálja mindazt mint az előtte levők : elossza három egyenlő részre a talált halmennyiséget, a plusz egy halat a tengerbe dobja. A kérdés az volt, hogy melyik a három halász által kifogott halmennyiség legkisebb értéke amelyik megfelel a fentieknek ?
Dirac egy kis gondolkodás után rávágta : mínusz kettő (−2 )!!!
Hogy erre milyen nevetés tört ki a tanárok között, talán nem is kell magyaráznom. Rezegtek az ablakok, de aztán az egyik tanár elkomolyodott. : álljatok csak meg, mert akármennyire hihetetlen a fiúnak igaza van.! Valóban, ha van –2 halunk, amiből egyet vissza dobunk a tengerbe (-1), hogy pontosan eltudjuk osztani három felé, így lesz tehát –3 halunk. Háromfelé osztva és elvéve belőle az egyik részt (-1), marad –2 hal. A következő halászoknak nem marad más, minthogy mindezt szépen végig csinálják a már látott eredménnyel, persze az eljárás végtelenig folytatható. A várt válasz,25 lett volna.
Zárószóként emlékeztetni akarlak Kepler szabályos oldalú  poliéder világmodellére, amit a kozmológia világképünk előadásomba magyaráztam, és Robert Anson Heinlein a Slég ház című elbeszélésére, ahol egy teszerakt alakú házat építenek(az időgépes előadásomban részleteztem), vagy Martin Gardner  Nulla oldalú professzor című elbeszélésére, ahol egy matematikus, a Möbius egydimenziós szalaghoz hasonlóan, felfedez egy öt ágú formát, amit megfelelően összecsomagolva nulla dimenzióssá teszünk.